MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt (kevät 2006)

Luennot

Luennoitsija: professori Samuli Siltanen. Luennot ma 12-14 salissa TB104 ja ti 12-14 salissa TB104, luennoitsijan vastaanotto ti 14-15 huoneessa TD 321. Kurssi luennoidaan periodeilla 4 ja 5.

Laskuharjoitukset

Laskuharjoitukset alkavat viikolla 7 (13.-17.2.). Laskuharjoitusajat ja -paikat:
Ke 14-16 TA203 Juho Linna
Ke 16-18 TA203 Juho Linna
To 12-14 TA203 Seppo Pajunen
To 14-16 TA203 Seppo Pajunen
To 16-18 TA203 Seppo Pajunen

Harjoitusryhmiin ilmoittautuminen tapahtuu sähköisesti Haavi-järjestelmää käyttäen.

Suorittamalla laskuharjoituksia voi ansaita maksimissaan 12 välikoepistettä, 6 kummallakin periodilla. Myös toukokuun tentissä otetaan laskuharjoituspisteet huomioon (maksimissaan 6 pistettä). Laskuharjoituspisteitä voi kerätä ainoastaan saapumalla paikan päälle laskuharjoitukseen ja esittämällä ratkaisunsa pyydettäessä.

Alla laskuharjoitukset pdf-muodossa.
Laskuharjoitus 1 (15.-16.2.2006)
Laskuharjoitus 2 (22.-23.2.2006), Matlab-funktio vectorfield_plot.m
Laskuharjoitus 3 (1.-2.3.2006)
Laskuharjoitus 4 (8.-9.3.2006)
Laskuharjoitus 5 (8.-9.3.2006)
Laskuharjoitus 6 (29.-30.3.2006)
Laskuharjoitus 7 (5.-6.4.2006)
Laskuharjoitus 8 (19.-20.4.2006)
Laskuharjoitus 9 (26.-27.4.2006)
Viimeinen laskuharjoitus (3.-4.5.2006)

Välikokeet

Kurssin voi suorittaa kahdella välikokeella, joissa kummassakin maksimipistemäärä on 24 pistettä. Suorittamalla laskuharjoituksia voi ansaita lisäksi 12 välikoepistettä.

1. välikoe ma 27.3. kello 12-14 salissa TB104. Välikoealue: Hirsch-Smale, luvut 1,3 ja 4. Aiheet: Lineaarisen, homogeenisen differentiaaliyhtälösysteemin ratkaisu siinä tapauksessa, että nxn -kokoisella kerroinmatriisilla A on n erisuurta ominaisarvoa. Faasikuvan hahmottelu. Korkeamman asteen lineaarisen skalaariyhtälön palauttaminen lineaariseksi systeemiksi.

2. välikoe ti 9.5. kello 12-14 salissa TB104. Alue: Hirsch-Smale, luvut 5 ja 6§1-6§6. Aiheet: Matriisin eksponentiaali ja sen käyttö lineaaristen differentiaaliyhtälösysteemien ratkaisemiseen. Epähomogeenisten systeemien ratkaisu erikoitapauksissa. Ylemmän kertaluvun skalaariyhtälön muuntaminen ensimmäisen kertaluvun systeemiksi. Matriisien Jordanin muodot ja reaaliset kanoniset muodot sekä sovellukset differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.

Huomio: ilman laskuharjoituspisteitä voi välikokeet suorittamalla ansaita maksimissaan 48 pistettä 60:stä. Arvosanaa 5 ei voi siis saavuttaa välikokeilla ilman laskuharjoituspisteitä. Niille, jotka eivät voi osallistua laskuharjoituksiin, suositellaan kurssin suorittamista tentillä.

Tentti

Kevään 2006 tentti pidetään 15.5. kello 17-20. Sali ilmoitetaan myöhemmin. Kevään 2006 laskuharjoituspisteet otetaan huomioon tässä tentissä (mutta ei myöhemmissä). Tentin maksimipistemäärä on 30 pistettä ja laskuharjoituspisteiden maksimimäärä on 6 pistettä. Pisteiden huomiointi tapahtuu seuraavasti: kullekin opiskelijalle lasketaan prosentuaalinen pistemäärä (a) pelkän tentin perusteella, eli (tenttipisteet/30)*100%, ja (b) tentin ja laskuharjoituspisteiden perusteella, eli ((tenttipisteet+laskuharjoituspisteet)/36)*100%. Arvosana annetaan suuremman prosenttiluvun perusteella. Siten arvosanan 5 voi saavuttaa tentillä, vaikka ei olisi kerännyt laskuharjoituspisteitä. Tentin koealue: katso välikokeiden alueet yllä.

Syksyllä on tarjolla seuraava tentti, jonka ajankohta ja paikka ilmoitetaan myöhemmin. Huomio: Kevään 2006 laskuharjoituspisteillä ei ole vaikutusta päivän 15.5.2006 jälkeen pidettävien tenttien pistemäärään tai arvosteluun.

Kurssimateriaali

Kurssin pääasiallisen sisällön muodostavat luvut 1,3,4,5 ja 6 kirjasta M. Hirsch & S. Smale: Differential equations, dynamical systems, and linear algebra, Academic press 1974, ISBN 0-12-349550-4. Kurssin asiat löytyvät myös kirjasta M. Golubitsky & M. Dellnitz: Linear algebra and differential equations using Matlab, Brooks/Cole 1999, ISBN 0-534-35425-5. Osa kurssin materiaalista (ei kuitenkaan kaikki) on opiskeltavissa kirjasta R.E. Williamson & H.F. Trotter: Multivariable Mathematics, Prentice-Hall 1979, ISBN 0-13-181645-4.

Yllä mainittuihin kirjoihin viitataan alla lyhenteillä HS, GD ja WT.

Kurssin eteneminen

Viikolla 6 (6.-10.2.) käsitellään kurssin käytännön asioita ja esimerkkejä differentiaaliyhtälöistä sekä differentiaaliyhtälösysteemeistä. Kirjallisuus: HS, luku 1§1.

Viikolla 7 (13.-17.2.) muotoillaan yleinen differentiaaliyhtälösysteemi (HS, luku 1§2). Lisäksi kerrataan lineaarialgebraa, erityisesti kanta, lineaarikuvaus, matriisi, koordinaatistonmuunnokset, determinantti, ominaisarvot ja matriisin diagonalisointi. Lähde: HS luvut 3§1 ja 3§2. Matlab-funktio 2x2-matriisien havainnollistamiseen: kissa.m.

Viikolla 8 (20.-24.2.) puhutaan vielä hiukan matriisin diagonalisoinnista (HS, luku 3§2). Lineaarisen, homogeenisen differentiaaliyhtälösysteemin ratkaisu opetellaan siinä tapauksessa, että kerroinmatriisilla A on n erisuurta, reaalista ominaisarvoa (HS, luku 3§3). Lopuksi käydään läpi johdanto siihen tapaukseen, että 2x2 matriisilla A on kompleksiset ominaisarvot (HS, luku 3§4).

Viikolla 9 (27.2.-3.3.) luennot on peruutettu luennoitsijan sairastumisen takia. Tämän viikon lyhyt luentomateriaali on pdf-muodossa tässä, ja samat asiat löytyvät kirjasta HS, luvut 3§1F ja 4§1. Aiheena on suora summa sekä vektoriavaruuksien ja lineaarikuvausten kompleksifiointi. Viikon 10 luennot olettavat nämä asiat pohjatietoina. Neljännet laskuharjoitukset pidetään normaalisti (tehtävät yllä).

Luennot on peruutettu myös viikolla 10 (6.3.-10.3.). Tämän viikon lyhyt luentomateriaali on pdf-muodossa tässä, ja samat asiat löytyvät kirjasta HS, luvut 4§2 ja 4§3. Aiheena on lineearisen differentiaaliyhtälösysteemin ratkaiseminen siinä tapauksessa, että kerroinmatriisilla on n erisuurta (mutta ei välttämättä reaalista) ominaisarvoa. Viidennet laskuharjoitukset pidetään normaalisti (tehtävät yllä).

Viikon 11 (13.3.-17.3.) luennoilla käsiteltiin loppuun kirjan HS luku 4§3. Viikolla 12 ei ole luentoja tenttiviikon takia.

Viikolla 13 (27.3.-31.3.) oli välikoe maanantaina ja luento tiistaina. Luennolla käsiteltiin vektoriavaruuksien normitopologiaa (HS 5§1 ja 5§2) sekä operaattorinormi (HS 5§3).

Viikolla 14 (3.4.-8.4.) luennoilla käsiteltiin matriisien eksponenttifunktiota ja sen käyttämistä homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälösysteemin ratkaisemiseen (HS 5§3 ja 5§4).

Viikolla 15 (10.4.-14.4.) luennoilla käsiteltiin epähomogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälösysteemin ratkaisemista (HS 5§5), korkeamman asteen skalaariyhtälöiden ja systeemien muuttamista ensimmäisen asteen systeemeiksi (HS 5§6) sekä matriisien perushajotelmia (HS 6§1).

Viikolla 16 (17.4. ja 18.4) ei ole luentoja. Laskuharjoitukset numero 8 pidetään 19.4. ja 20.4. normaalisti.

Viikolla 17 pidetään kurssin loput luennot seuraavasti: maanantaina 24.4. kello 12-15 ja tiistaina 25.4. 12-16 tai niin pitkään kuin asiaa riittää. Toukokuussa ei siis enää ole luentoja. Viikon 17 luennoilla käsiteltiin luvut HS 6§2-6§5, eli matriisien kanoniset reaaliset muodot ja niiden soveltaminen differentiaaliyhtälösysteemeihin. Luku HS 6§6 kuuluu vielä koealueeseen.


Sivu päivitetty huhtikuun 25. päivänä 2006.