MAT-53750/MAT-53756 (7op)

Johdatusta geometrisiin algebroihin ja niiden sovellutuksiin



Aika ja paikka




Per 3.1.2011-
ti 10-12 TB214 alkaa/starting 11.1.2011
to 9-12 TD418 Harjoitukset/Instructed exercises
7.3.-
09:00 - 12:00 TB214
to 9-12 TD418 Harjoitukset/Instructed exercises


Kurssi alkaa 11.1.2011 luennoilla
The course is starting 11.1.2011 with lectures



Rekisteröidu Moodlessa
https://moodle.tut.fi/course/view.php?id=2883


Harjoitushyvitykset

Harjoitukset ovat osa kotitehtäviä ja osa ohjattuja paikan päällä laskettavia.

Kurssin suoritus

Kurssin voi suorittaa tentillä tai välikokeilla ja harjoitustehtävillä.



Kurssikuvaus

Geometrinen algebra tarkoittaa reaalilukusysteemin geometrista laajennusta.
Se on Cliffordin algebra, jonka aksiomit on valittu geometrista tarkoituksenmukaisuutta
silmällä pitäen. Geometrisen algebran osa-alueina ovat tavanomaisten
vektori- ja kompleksialgebran lisäksi myös differentiaalimuodot
ja spinorit. Hamiltonin kvaternionit ja Grassmannin ulkomuodot yhdistyvät
geometrisessa algebrassa koherentisti.
Kurssilla esitellään lähinnä  kolmiulotteisen Eukleidisen avaruuden geometrista
algebraa. Kurssilla lähdetään liikkeelle alkeista. Perustiedoiksi riittää
differentiaalilaskennan perusteiden tunteminen. Kurssin ensimmäisessä
osassa käsitellään
• perussuureet ja laskutoimitukset (skalaarit, vektorit, bivektorit,...)
• lineaarikuvauksia (etenkin ortogonaalimuunnokset, pyöritys ja peilaus)
• aliavaruusoperaatioita ja projektioita
• pallotrigonometriaa
• analyyttistä ja projektiivista geometriaa (mm. mallitetaan kolmiulotteinen
Euklidinen avaruus 5-ulotteisena Minkowskin avaruutena siten
että kaikki konformaaliset muunnokset ovat lineaarisia!)
Kurssin toisessa osassa esitetään differentiaali- ja integraalilaskentaa geometristen
algebrojen avulla. Muun muassa
• opetetaan laskemaan suunnattuja derivaattoja
• opetetaan laskemaan vektoriderivaattoja
• opetetaan laskemaan vektori-integraaleja
• Todistetaan Cauchyn lauseen vastine useampi ulotteisissa avaruuksissa
• käsitellään Diracin yhtälöä ja Maxwellin yhtälöitä.


Kurssimateriaalia

Löytyy Moodlesta

http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ptIIIcourse/index.html
http://www.helsinki.fi/~jmpesone/index_files/GA.htm.
http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/info/analyysi_kvaternioilla_ja_cliffordin_algebroissa06s.html

http://users.tkk.fi/~ppuska/clifford/kurssi/
http://toknotes.mimuw.edu.pl/sem3/online/Sinope.html

Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors. London Mathematical Society Lecture Note Series, 239, Cambridge University Press, Cambridge, 1997



Luentoja

Moodlessa


Harjoitukset



Sirkka-Liisa Eriksson
sirkka-liisa.eriksson(at) tut.fi
Matematiikan laitos
Tampereen teknillinen yliopisto